Histoire des sciences · Lomagne
Pierre Fermat :
la conjecture jusqu’au bout
Le magistrat de Beaumont-de-Lomagne, une vie tenue en marge et un théorème de trois siècles.
Il est des hommes dont la vie tout entière ressemble à une énigme. Pierre Fermat est de ceux-là. Nous croyons le connaître : un nom posé sur un théorème, une gloire des manuels, l’orgueil discret d’une petite ville de brique. Mais qu’on se penche sur lui, et tout se dérobe, à commencer par le plus simple — le jour de sa naissance. Longtemps on l’a dit baptisé à Beaumont-de-Lomagne un matin d’août 1601 ; puis les érudits ont découvert que ce nourrisson-là mourut au berceau, et qu’un second Pierre vint quelques années plus tard, à qui l’on donna le nom du frère perdu. De sorte que le plus grand poseur d’énigmes de son siècle est lui-même une énigme, et que sa vie s’ouvre, comme son œuvre s’achèvera, sur une proposition que nul ne sait démontrer.
Un magistrat en sa province
La Lomagne où il grandit est un pays de coteaux doux et de bastides, entre Gascogne et Toulousain, où la brique rose remplace la pierre et où les halles de bois abritent, les jours de marché, le blé et l’ail. Son père, Dominique Fermat, y tenait négoce de cuir et siégeait parmi les consuls : bourgeoisie cossue, sans lustre, de celles qui achètent des charges pour leurs fils. Pierre fit son droit, comme il se devait, et devint en 1631 conseiller au parlement de Toulouse. Il jugea des procès, monta en grade, passa à la chambre de l’Édit de Castres, épousa une cousine de sa mère, éleva ses enfants. Rien, dans cette existence rangée de robin de province, ne laissait deviner l’autre vie — celle qu’il menait le soir, dans le silence de son cabinet, penché sur des livres grecs.
Un savant qui ne publiait rien
Car Fermat avait des mathématiques son hobby, comme d’autres font des mots croisés : passion, ou passe-temps qu’il entretenait seul. De son vivant, il ne publia à peu près rien. Il écrivait des lettres — à Mersenne, à Pascal, à Roberval, à toute cette confrérie savante qui bruissait à Paris et qu’il ne visita jamais — et dans ces lettres il jetait des résultats comme on jette des défis, énonçant sans démontrer, affirmant qu’il « tenait la preuve » et priant ses correspondants de la retrouver s’ils le pouvaient. On l’en accusa : il agaçait Descartes, il exaspérait les géomètres. Mais de ce jeu naquirent des mondes. En 1654, un échange avec Blaise Pascal sur un problème de dés fonda, presque par divertissement, le calcul des probabilités. Ses méthodes pour trouver les tangentes et les extrêmes ouvraient la voie au calcul différentiel, un demi-siècle avant Newton et Leibniz. Et lorsqu’il s’avisa que la lumière, pour aller d’un point à un autre, suit toujours le chemin du moindre temps, il énonçait un principe dont la physique n’a pas fini de mesurer la profondeur.
De Pythagore à Diophante
Lorsque Fermat ouvrait son Diophante, il n’entrait pas dans un monde oublié. Il rejoignait une conversation commencée près de deux millénaires auparavant. Les Grecs avaient fait des nombres autre chose que de simples instruments de comptage : ils en avaient recherché les propriétés, les rapports et les lois cachées.
Avec les pythagoriciens, vers le VIe siècle avant notre ère, l’arithmétique devint l’étude du nombre considéré en lui-même. Euclide, autour de 300 avant notre ère, rassembla ensuite dans ses Éléments les résultats de plusieurs générations de mathématiciens et leur donna une forme appelée à traverser les siècles : définitions, axiomes, propositions, démonstrations. La vérité mathématique ne devait plus seulement être observée ; elle devait être prouvée.
Diophante d’Alexandrie appartient à une époque beaucoup plus tardive, probablement autour du IIIe siècle de notre ère. Son Arithmétique ne ressemble guère à un traité ordonné comme celui d’Euclide. C’est une succession de problèmes : trouver des nombres satisfaisant telle ou telle condition, décomposer un carré, déterminer des quantités dont la somme ou le produit possède une propriété donnée. Diophante introduit une inconnue, opère sur ses puissances et construit, problème après problème, des solutions ingénieuses.
Il n’écrivait pas encore des équations comme nous le faisons aujourd’hui. Son langage demeurait en grande partie rhétorique et ses solutions recherchaient le plus souvent des nombres rationnels positifs. Pourtant, aux yeux des savants de la Renaissance puis du XVIIe siècle, son ouvrage ouvrait un territoire neuf : celui des équations dont on cherche les solutions dans les nombres.
C’est ce livre que Claude-Gaspard Bachet de Méziriac traduisit en latin en 1621. Et c’est dans un exemplaire de cette édition que Fermat trouva matière à ses propres recherches, comme si la marge du livre antique était devenue le lieu d’un dialogue entre Alexandrie et la Gascogne.
Deux millénaires de nombres et de preuves
De la naissance de la démonstration grecque à la preuve moderne de Wiles, cette frise montre moins une suite de noms qu’une longue transmission des méthodes et des questions.
La tradition grecque lui attribue quelques-unes des premières démonstrations géométriques.
Les nombres, leurs rapports et leurs propriétés deviennent objets d’étude.
Les Éléments organisent le savoir selon définitions, axiomes et preuves.
Aires, volumes et approximations sont établis par des raisonnements rigoureux.
L’Arithmétique rassemble des problèmes numériques résolus à l’aide d’une inconnue.
Publication de la traduction latine de six livres de Diophante.
Une note marginale affirme l’impossibilité des puissances au-delà du carré.
Les observations de son père paraissent avec une nouvelle édition de Diophante.
La démonstration moderne ferme enfin l’énigme ouverte trois siècles plus tôt.
Comprendre par la démonstration
Trois étapes visuelles permettent de mesurer la distance entre une relation vérifiée, un problème résolu et une proposition démontrée pour tous les nombres.
1. Le carré de l’hypoténuse
a² + b² = c²La réorganisation de quatre triangles identiques fait apparaître une égalité nécessaire entre les aires. La figure ne se contente pas de vérifier un exemple : elle donne la raison de la relation.
2. Un problème à la manière de Diophante
Trouver deux nombres dont la somme vaut 10 et le produit 21 conduit, avec notre écriture moderne, aux solutions 3 et 7.
Cette notation est moderne : Diophante exposait ses problèmes et ses opérations dans une langue bien différente de notre algèbre symbolique.
3. Du carré aux puissances
Quelques essais peuvent suggérer l’impossibilité, mais ils ne la démontrent pas. La proposition de Fermat porte sur tous les entiers positifs et tous les exposants supérieurs à deux.
Pour le cas n = 4, Fermat employa la descente infinie : d’une solution supposée, on en construirait une autre plus petite, puis une autre encore — impossibilité dans les entiers positifs.
Une égalité d’apparence élémentaire, dont la démonstration allait résister pendant plus de trois siècles.
La marge trop étroite
Son domaine de prédilection, pourtant, était le plus ancien et le plus pur : les nombres entiers, leurs propriétés secrètes, cette arithmétique que les Grecs avaient laissée en héritage. Il lisait et relisait l’Arithmétique de Diophante, dans l’édition latine de Bachet parue en 1621, et il en couvrait les marges de notes. C’est là, en regard d’une proposition sur les carrés, qu’il traça un jour la phrase la plus célèbre de l’histoire des mathématiques : aucun cube, affirmait-il, ne se partage en deux cubes, aucune puissance quatrième en deux puissances quatrièmes, et ainsi de suite au-delà du carré — « j’en ai découvert une démonstration véritablement admirable, ajoutait-il, que cette marge est trop étroite pour contenir ». Puis il tourna la page. Il ne l’écrivit jamais. On peut douter, aujourd’hui, qu’il l’ait vraiment tenue, cette preuve : les meilleurs esprits allaient s’y briser trois cent cinquante ans durant. Il fallut attendre 1994, et l’obstination d’un mathématicien anglais, Andrew Wiles, retiré sept années dans son grenier, pour que la conjecture de Fermat cédât enfin, au prix de mathématiques dont le Lomagnol n’avait pu rêver.
Fermat mourut à Castres en janvier 1665, sans rien savoir de la fortune posthume de ses griffonnages. Il revint à son fils, Clément-Samuel, de fouiller les papiers du père, de rassembler ses observations et de les faire imprimer à Toulouse, en 1670, en marge du même Diophante — de sorte que ses notes marginales devinrent enfin un livre. Deux siècles plus tard, mathématiciens et érudits redécouvraient l’ampleur de cette œuvre éparse ; et sa ville lui dressa une statue, tardif hommage d’une province à l’enfant dont elle avait ignoré le génie.
La conjecture jusqu’au bout
Il y a, dans ce destin, une singulière fidélité à soi-même. Toute la vie de Fermat fut une conjecture — une suite d’affirmations sans preuve, offertes au regard des autres. Il eut une naissance sans date, une œuvre sans publication, des théorèmes sans démonstration ; et jusqu’à sa dernière énigme, il demeura l’homme des marges, celui qui montre le seuil d’un monde sans y entrer, celui qui sait — ou croit savoir — et se tait. Nous aimons les vies qui se concluent, les preuves qui se ferment, les hommes dont on peut faire le tour. Fermat nous refuse cette consolation. Il nous laisse, comme sa fameuse marge, le sentiment d’une vérité entrevue et jamais tout à fait saisie ; et c’est peut-être là sa plus haute leçon, à lui qui joua toute sa vie avec l’infini : qu’il est des choses que l’on emporte, et que le temps met des siècles à nous rendre.
Sources patrimoniales de référence
- Cl.-S. Fermat (éd.), Diophanti Alexandrini Arithmeticorum libri sex… cum observationibus D. P. de Fermat, Toulouse, B. Bosc, 1670 — édition posthume par le fils et source primaire des « observations » marginales.
- P. Tannery & Ch. Henry (éd.), Œuvres de Fermat, Paris, Gauthier-Villars, 1891-1922, 4 vol. — édition savante de référence.
- Euclide, Les Éléments — référence fondatrice pour l’organisation axiomatique et démonstrative des mathématiques grecques.
- Diophante d’Alexandrie, Arithmétique — recueil antique de problèmes numériques transmis par les traditions grecque et arabe.
- Revue de Gascogne, Comité d’histoire et d’archéologie de la province ecclésiastique d’Auch, collection numérisée sur Gallica et Internet Archive.